La Ley de Benford es muy anti-intuitiva, incluso para los matemáticos. No se le ocurrió a ningún matemático sino que fue descubierta por un matemático en el mundo real.
Antes de que existieran las calculadoras electrónicas, muchos cálculos se hacían con tablas de logaritmos. Estas tablas venían en un libro rellenito, tipo listín de teléfonos y quien lo usaba miraba el número que le interesaba y averiguaba su logaritmo. Benford notó que el el libro de logaritmos de la biblioteca de la facultad estaban mucho más manoseadas las páginas hacia el principio que las del final. Comprobó que en otros libros de logaritmos de otras bibliotecas ocurría lo mismo.
Era como si la gente que resuelve problemas del mundo real se topara mucho más a menudo con cifras decimales que comienzan con 1, que con cifras que comienzan por 2 o por 3. Cuanto más alta la primera cifra, menos abundantes son esas cifras en el mundo real.
Benford estudió el problema y descubrió el motivo y la ley de distribución logarítmica que siguen la probabilidad de la primera cifra.
No es nada fácil explicar esta Ley pero hay un problema, el problema de los números en una calle, que puede dar una idea.
Si comenzamos a numerar las casas, la primera casa es la '1' lo que hace que temporalmente, el 1 y luego el 2 tomen ventaja. Tras un trecho, cuando llegamos a la casa '9' el resto de números recuperan la ventaja y todos las primeras cifras han aparecido por igual. Pero entonces llega la casa '10' lo que hace que el '1' se vuelva a adelantar, y lo hace durante las siguientes 10 casas que comienzan por 1.
Cuando se llega a la casa '99' la probabilidad se ha igualado pero el '1' vuelve a adelantarse en la casa 100
Aunque hay partes de la calle en las que las probabilidades son uniformes, como a la altura de la casa 9 o la 99, en la mayoría de la calle los números bajos, 1, 2 o 3 han aparecido más (en cuanto las probabilidades se igualan, otra vez toman ventaja los números pequeños)
Benford determinó cuál es la distribución de probabilidad con la que aparecen las diferentes cifras, y esa distribución decae logarítmicamente según aumenta la cifra (La Ley de Benford se cumple también para sistemas de numeración con más o menos cifras, por ejemplo el binario (2 cifras) o el hexadecimal (16 cifras))
Si una colección de cifras del mundo real se genera de forma natural, lo que ha llovido en Gijón cada día el último año, o la cotización de la acción de Apple, cumple la Ley de Benford
Cuando un tío (poco astuto), se inventa las cifras, esas cifras inventadas no cumplen la Ley de Benford (Ni otras leyes***)
*** La gente, en general, es muy mala inventándose cifras aleatorias. Cada persona parece tener algo así como cifras favoritas o cifras que no le gustan y tienden inconscientemente a aflorar esos sesgos cuando inventan series de números aleatorios. Por ejemplo: que las cifras inventadas contengan un número anormalmente elevado de '7' o que casi no contengan '4'
