Muy loco lo de los fractales. Acabo de descubrir además que esa fórmula es la que se utiliza para generar randoms, ya decía yo que me sonaba de algo.
Me sigue pareciendo muy aleatorio que a partir de un valor de R eso empiece a hacer locuras. ¿Cuál es la explicación?.
Estudié, en una asignatura de esas que es una especie de 'cajón de sastre' varias formas de crear sucesiones random.
Las sucesiones random, aunque aparentemente aleatorias, son cíclicas. Son números pseudoaleatorios. En realidad son sucesiones periódicas. Todo lo aleatorio ha de provenir del mundo exterior (randomize). Hay un Teorema de la Matemática Discreta que dice que una sucesión aleatoria sin ciclos abarca un número de términos cuya cota superior es el valor de su módulo, que es el divisor del que extraer los restos en estas fórmulas clásicas. Tras finalizar el ciclo, se repite uno nuevo exactamente igual. La condición necesaria es que sea primo con respecto a los demás coeficientes de recurrencia. Si no fuesen primos entre sí podríamos alcanzar ciclos ridículos de 10 o 20 números aleatorios, aunque usáramos coeficientes gigantescos.
Tuve una asignatura de simulación en Ingeniería (Teoría de colas, etc.) y siempre se nos decía que hiciéramos un análisis estadístico previo de lo que escupía el programa que usábamos para generar la ristra aleatoria porque lo mismo nos encontraríamos con sorpresas. Lo que el profe no nos contó es que eso se evita con el sabio uso de grandes números primos. Y aún así, la ristra se nos hará periódica, en algún momento.
La explicación de por qué surge esta locura de números es por el comportamiento de los restos (divisiones con módulo) en la aritmética modular, entre números que son primos entre sí (por ejemplo, al sacar 17 mod 23, 17^2 mod 23, 17^3 mod 23, etc. En algún que otro problema de matemáticas he tenido que sacar restos a partir de potencias, y siempre hay un comportamiento aleatorio. Cosas de la aritmética.
Los fractales, aunque también hacen uso de la recurrencia tienen un enfoque más cercano al análisis matemático que a la aritmética modular. Matemáticamente, el conjunto de Mandelbrot se define como el conjunto puntos convergentes del plano complejo, sometidos a la iteración Zn+1 = (Zn)^2 + C con un C arbitrario y Z0 = 0. Según la 'condición inicial' C el conjunto convergerá o no. Después, en muchas animaciones, colorean según si la convergencia es rápida o no. Se suele establecer un radio máximo, al gusto en el que parar la iteración en ese punto y darlo por divergente; y a experimentar con el ordenador.
Un salto más adelante son los fractales basados en cuaterniones (que son una extensión 'cuatridimensional' de los números complejos). Es la misma fórmula de Mandelbrot, trasladada al álgebra de cuaterniones. Se consiguen unos resultados muy chulos.
