He leído teoremas para cuya demostración se requiere un libro entero. Creo que a los matemáticos no nos importa que un teorema sea complejo, lo que nos importa es que esté construído con los materiales necesarios: definiciones concretas, proposiciones concretas, demostraciones válidas. En fin, dices que las definiciones las das en el 4to video, cuando lo vea te comento.
Ahora, contestando a tu comentario sobre la forma de comparar cardinalidades.
Creo que quizás aquí hay una confusión: las definiciones son las que son. Las definiciones ni son verdaderas ni son falsas, simplemente son. Como me decían a mí, las definiciones son gratis, otra cosa es lo que hagas con ellas.
Entonces, la definición de que un conjunto A tenga el mismo cardinal que un conjunto B es la siguiente:
Sean dos conjuntos A y B. Decimos que A y B tienen el mismo cardinal (|A| = |B|) si y sólo si existe una función biyectiva f: A->B.
Esta es la definición. Esto es lo que hay, no hay más vuelta de hoja. Si no existe ninguna función biyectiva entre A y B, entonces A y B no tienen el mismo cardinal.
Del mismo modo, podemos definir que A tienen cardinal menor o igual que el de B si y sólo si existe una función inyectiva de A a B, y el cardinal es menor estricto si existe una función inyectiva pero no existe ninguna función sobreyectiva de A a B.
Esto es lo que hay en cuanto a definiciones.
Ahora, tomemos N y P(N). Supongamos que existe una función biyectiva f:N->P(N). Por el argumento de diagonalización de Cantor, podemos encontrar de manera constructiva un elemento de P(N) que NO es imagen de ningún elemento de N. Lo cual es absurdo, pues se supone que f era inyectiva. Absurdo que venía de asumir que existía una función biyectiva. Luego no puede existir NINGUNA función biyectiva entre N y P(N).
Luego |N| ≠ P(N), porque no se cumple la definición. Por otro lado, N está contenido en P(N) y por tanto existe una inyección de N a P(N), entonces |N| < |P(N)|.
Entonces, si dices que tienes otra forma de comparar cardinales, si no utilizas la definición de existencia de función biyectiva, entonces tienes que demostrar que la definición que planteas tú para que dos conjuntos tengan el mismo cardinal es equivalente a la existencia de la biyección. En caso contrario, los resultados a los que estés llegando quizás sean correctos, pero a priori no sabemos que impliquen nada sobre la relación de cardinales entre los conjuntos.
Por ejemplo, lo que comentabas de A y C. Tú decías: sean A y C tales que existe una función de f:A -> {subconjuntos de dos elementos de C} tales que bla bla bla. Entonces, eso claramente implica que existe una inyección de A a C, y por tanto ahí puedes afirmar sin miedo que si existe una función entre A y C con las características que describes, entonces |A| <= |C| (OJO, que tiene que cumplirse la hipótesis, es decir, debe existir una función de tales características para que se cumpla la definición).
Si encuentras una función así, encuentras una inyección de A a C. Para demostrar que el cardinal es el mismo te falta la sobreyección de A a C, o usando el teorema de Schroeder Bernstein te bastaría con encontrar otra inyección de C a A.
El problema es la reacción a la innovación. Si partes del hecho que la innovación es imposible, la cerrazón impide que existe, no de facto, pero si en la consciencia colectiva.
Una "solución" cardinal original...
Por cada intento de biyección SIEMPRE existe un elemento que la impide ser sobreyectiva. Pero otra relación hace al conjunto imagen, más el elemento externo, biyección. Pero para ese nuevo intento de biyección existirá siempre un elemento que la impida ser sobreyectiva...
¿Y si conseguimos el efecto INVERSO? Por muchas biyecciones y elementos externos que crees... jamás ninguno será "no tenido en cuenta".
Una solución multiverso cardinal consiste en "analizar todas las posibilidades", ABSOLUTAMENTE TODAS, y crear una partición del conjunto, supuestamente, con el cardinal más pequeño.
El objetivo es cada elemento de esa partición se encargue de un caso. Dando igual los cardinales envueltos en el problema.
De esta forma tu no pararías de crear casos, y de estrellarte contra los subconjuntos de esa partición, que no solo tienen solución para el elemento externo también, si no que consiguen una relación uno (de P(N)) a infinitos (de N). Disjutnos entre sí, y respetando el Teorema CA.
Y no cambio de relación... simplemente creo una, que me dé, más que infinitos a uno. Que me dé los suficientes como para crear dicha partición... y que dando igual el caso, yo siempre tenga infinitos elementos, por cada elemento de P(N) en ABSOLUTAMENTE TODOS TUS intentos de crear una demostración por reducción al absurdo (usando las dos técnicas más famosas de diagonalización de Cantor)
Es tan potente, que incluso alguien me sugirió una forma de desmontar un argumento mio, y en los videos aprovecho no solo para atacar cualquier posible combinación de las dos técnicas de diagonalización, sino para atacar el tercero también.. todo con la misma relación. Relación no aplicación.
Y aunque suene raro que sea no-aplicación.. el hecho de que produzca emparejamientos uno a infinitos, (disjuntos), habla por si solo. Y como te dije, soy capaz de PREVEER DE ANTEMANO cualquier posible caso.
<EDIT: Otra vez el simil militar... Imagínate que dando igual cuantos soldados tenga cada uno, y que las batallas se se resuelven en igualdad, cada soldado, enpelea,elimina al otro y viceversa: se autoeliminan
Imagina que vives en un poliedro con una cantidad de caras inconcebible... y que no sabes por qué cara, de ese poliedro, de ese universo difícil de imaginar por tener inconcebibles dimensiones... va atacar el ejército enemigo.
Así que tu dispones, en cada cara, te aseguras de ello, no sabes como, pero estas seguro, una cantidad de soldados suficientes para ganar y poder tener un enfrentamiento infinitos a uno contra el enemigo a tu favor. Para asegurarte de dar de baja de la suscripción de la vida a todos los del enemigo y que te sobren.
Entonces el enemigo ataca por una sola cara... pero esa cara tu ya la preveiste de antemano, ya tenias ahí UN SUBCONJUNTO DE LA PARTICIÓN DE TU EJÉRCITO. Ganas la batalla de esa cara.
Y cuando ganas te viene alguien y te dice ¿Cómo es posible; si tenías un ejercito más pequeño que el de tu enemigo?
Pero no basta con eso... de repente el enemigo ataca por el resto de caras, por todas a la vez!! Quitando la que ya usó... y vuelves a ganar la batalla en cada cara... y te sobran chorrocientos soldados.. pues en cada cara tenías una relación uno a infinito...
Y te viene alguien y te repite:
+ MILAGRO!! tu ejército era muchísimo menor en número y has vencido!!
- Por qué dices eso?
+ La lógicas es perfecta, la lógica indicaba que te sería imposible vencer en una sola cara!!
Tu única conclusión es que la lógica se equivocaba, por mucho que la predicción inicial fuese la que fuese. Y ESE FENÓMENO LÓGICO es mi objetivo hace más de 20 años. Localizarlo y ponerle nombre. Qué es lo que ha llevado a una predicción tan errada??>
