Vamos al grano, que esto es álgebra de bachillerato disfrazada.
1. Covarianza y correlación
La pendiente de Y sobre X es:
b(Y/X) = Cov(X,Y) / Var(X) = 0,48
Por tanto:
Cov(X,Y) = 0,48 · 25 = 12
La correlación de Pearson es:
r = Cov(X,Y) / (σx · σy) = 12 / (5 · 6) = 12 / 30 = 0,4
2. Pendiente de X sobre Y
La pendiente de la recta de X sobre Y es:
b(X/Y) = Cov(X,Y) / Var(Y) = 12 / 36 = 1/3
Fracción irreducible, como pedías.
3. Varianza de X sin explicar por Y
El coeficiente de determinación es:
r² = 0,4² = 0,16
Luego la proporción no explicada es:
1 − r² = 1 − 0,16 = 0,84
Es decir, exactamente el 84 % de la varianza de X queda sin explicar al usar Y como predictor lineal.
4. Transformaciones U = −2X y V = Y + 10
El coeficiente de Pearson no cambia de valor absoluto ante cambios lineales, pero se invierte de signo si una de las transformaciones lleva pendiente negativa. Multiplicar por −2 invierte el signo; sumar 10 no lo altera.
Por tanto:
r(U,V) = −0,4