1^x = e: Keine reelle Lösung, aber unendlich viele komplexe

Warum 1 hoch x gleich e sein kann (und kein Fehler ist)

Die Gleichung passt auf eine Serviette und beleidigt die Intuition: 1^x = e, wobei e 2,71 ist. Jeder, der durch die Schule gegangen ist, weiß, dass eins hoch irgendetwas immer eins bleibt, daher lautet die elementare Antwort, dass diese Gleichheit nicht hält. Und sie stimmt zur Hälfte. Auf der reellen Geraden gibt es keine Lösung; in der komplexen Ebene gibt es unendlich viele. Alle rein imaginär, alle außerhalb der Reichweite eines Taschenrechners.

Warum hat 1^x = e keine reelle Lösung?

Sie hat keine, weil die Operation selbst zu einem Widerspruch führt. Nimmt man den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten, ergibt sich ln(1^x) = ln e, also x · ln 1 = 1. Da ln 1 = 0, wird die Gleichung zu x · 0 = 1, was für keine reelle Zahl gilt: Jede Menge mal Null ergibt Null. Das Argument ist so zwingend, dass viele es dort belassen haben, ohne Raum für mehr.

Die Intuition begleitet die Rechnung. Eine Potenz mit Basis 1 besteht darin, die Eins so oft mit sich selbst zu multiplizieren, wie der Exponent angibt, und das liefert immer die Eins. Daher die weit verbreitete Überzeugung, dass eins hoch irgendetwas eins ist. Das Problem ist, dass diese Regel in einem Terrain gelernt wird – den Reellen – und später in einem anderen angewandt wird, wo sie nicht mehr gilt.

Die komplexe Lösung: Wenn 1 nicht nur 1 ist

In der komplexen Ebene hat die Eins viele Gesichter. Die Eulersche Formel erlaubt es, sie als 1 = e^(2πki) zu schreiben, mit k als ganzer Zahl. Es ist kein Zaubertrick: Es ist dieselbe Einheit, die den Einheitskreis k-mal umrundet, bis sie zum Startpunkt zurückkehrt. Akzeptiert man das, hört ihr Logarithmus auf, eine eindeutige Zahl zu sein, und wird zu einer Familie: ln 1 = 2πki. Setzt man dies in die ursprüngliche Gleichung ein, erhält man x · 2πki = 1 und nach Auflösen x = -i / (2πk) mit ganzzahligem k ≠ 0.

Es macht keinen Unterschied, das Vorzeichen umzukehren: k durchläuft alle von Null verschiedenen ganzen Zahlen und die Lösungsmenge ändert sich nicht durch Umkehrung des Vorzeichens. Darin liegt das Bemerkenswerte. Die scheinbar unmögliche Gleichheit hat unendlich viele Antworten, alle auf der imaginären Achse, und es genügt, ein beliebiges k zu wählen, um eine zu erhalten. Der Fall k = 0 wird aus einem einfachen Grund verworfen: Er teilt durch Null und der Ausdruck wird unbestimmt.

Der Exponent, der nicht heruntergezogen werden kann

Hier liegt der grundlegende Fehler. Bei den Reellen wird vorausgesetzt, dass (a^b)^c äquivalent zu a^(bc) ist, eine Eigenschaft, die gelehrt wird, als wäre sie universell. In der komplexen Ebene scheitert diese Gleichheit im Allgemeinen, weil sie zwingt, einen einzigen Zweig des Logarithmus zu wählen und den Rest zu verwerfen. Wer sie blind anwendet, erhält eine Null, die die Gleichung löscht; wer alle unendlichen Zweige mitnimmt, findet die richtige Antwort. Den Hauptzweig zu wählen, ist kein Theorem, sondern eine Rechenerleichterung, nützlich in einigen Fällen und irreführend in anderen.

Wo die Lösungen liegen und was nahe dem Ursprung passiert

Man sollte zwei verschiedene Bewegungen nicht verwechseln. Das e^(2πki) rotiert um den Einheitskreis, eine Umdrehung pro ganzzahligem Wert von k. Die Lösungen für x hingegen rotieren nicht: Sie stehen vertikal auf der imaginären Achse und stapeln sich zum Ursprung hin, wenn k wächst. Sie sind nicht gleichmäßig verteilt, denn der Abstand zwischen einer und der nächsten schrumpft, wenn der Nenner zunimmt. Die Geometrie der Sache verwirrt mehr als die Algebra selbst.

Abkürzungen, die nicht funktionieren

Es gibt scheinbare Auswege, die ins Leere führen. Einer schlägt vor, dass x unendlich sei, gestützt darauf, dass (1 + 1/x)^x gegen e strebt, wenn x unbegrenzt wächst. Die Begründung hat ein Loch: 1/x ist nie Null für einen endlichen Wert und Unendlich ist keine Zahl, zu der man etwas erheben kann.

Eine andere häufige Verwirrung vermischt die Aussage mit ihrem Ergebnis: Dass die Gleichung mit drei Symbolen geschrieben ist, bedeutet nicht, dass ihre Lösung in eine halbe Heftzeile passt. Und eine dritte vermischt Ebenen: Man diskutiert, ob das Problem literarisch oder wissenschaftlich ist, obwohl das eigentliche Hindernis darin besteht, komplexe Zahlen nur vom Hörensagen gelernt zu haben.

Null reelle Lösungen. Unendlich viele komplexe. Alle bei Abständen, die Bruchteile von 1/(2π) sind. Die Gleichheit, die wie ein Witz beim Abendessen wirkte, entpuppt sich als Einstieg in den mehrwertigen Logarithmus, den fast niemand im Unterricht sieht und ohne den die halbe moderne Physik nicht formuliert werden kann.