Las matemáticas estudiaría los objetos matemáticos. Estos serían tan reales como los objetos materiales a los que estamos acostumbrados. Las matemáticas consisten en encontrar hechos, a partir de axiomas y una forma aceptada de pasar de los axiomas a los hechos. Los axiomas y los hechos permiten las definiciones, y la "lógica de la demostración" es prácticamente lógica humana elemental. P.e. la Aritmética o la geometróa de euclides. A partir de los axiomas de euclides, demostramos hechos, desde teoremas elementales , como el de Pitágoras, hasta teoremas tan sofisticados como se quiera. Cuando haces matemáticas, obtienes un hecho como verdadero en ese sistema axiomático.
Por tanto, las matemáticas son el sitio perfecto. Ni siquiera permite opiniones, por que lo que es verdad o no, quedaría implícitamente determinado por los axiomas y las formas de demostrar hechos como verdaderos que hemos consensuado.
Pues no lo son, Gödel dice que hay hechos que pueden ser ciertos y falsos a la vez en un sistema axiomático, y ampliándolo p.e. podríamos falsear o no, ese teorema. Todavía peor, hay tesis que no son validables ni falseables, dentro de un sistema axiomático.
Eso hace que las matemáticas no puedan ser fundamentadas. ¿Piensas que se va a fundamentar nunca la física y sus metodologías que están a años luz del planteamiento abstracto riguroso de las matemáticas?
Sin esa fundamentación, la física es literatura y sus hechos, opiniones; que se imponen pq tienen buenos abogados defensores ( los físicos ). Es así de triste. Y todo nos sonaría cierto y consistente, gracias a la falsa ilusión de nuestra terminología ( leyes universales, átomos, fuerzas, etc ) y del empirismo.
Este es un debate filosófico, pero fundamental. Sin esto, la ciencia no es nada. Es la fe que se tenga en ella.
Bueno, por suerte, nadie abandó las matemáticas cuando se publicaron los trabajos de Gódel. Bueno, es broma, pq si hay matemáticos que han dejado las matemáticas al entender la profundidad de lo que dicen los trabajos de Gödel. Pácticamente, nos condenan al absurdo y al sinsentido de todo; y sobretodo de las mismas matemáticas. En cualquier caso, yo antes de dejar las matemáticas me reconciliaría con ellas, ya lo he dicho antes: todo es una cuestión de amor.
De lo que dices de la sociedad, no soy nadie para decir como debe ser la ciencia en la sociedad, etc.