Iniciado por Dawson

Por algo he entrecomillado el pesada. No me han enseñado mal fracciones continuas, simplemente no me las han enseñado, así que he aprendido por mi cuenta lo que he necesitado hasta ahora. Una pena, ya que es una parte muy bonita de la teoría de numeros.

Iniciado por Lucas Guijarro

Esto... Los únicos axiomas que he estudiado yo en aritmética son los de Peano.

Y la propiedad distributiva para todos los conjuntos de números se deduce de esos axiomas.

Iniciado por Lucas Guijarro

Esto... Los únicos axiomas que he estudiado yo en aritmética son los de Peano.
Y la propiedad distributiva para todos los conjuntos de números se deduce de esos axiomas.

Iniciado por Dawson

Me parece que aquí hay una confusión sobre los axiomas como inicio de las deducciones matemáticas, y aquí entraríamos en la teoría de conjuntos, y los axiomas como parte de una definición, algo que viene históricamente de suponer que algunas entidades matemáticas eran las únicas (como pasaba en geometría euclídea con el axioma de las paralelas).

Si a las ocho propiedades de un espacio vectorial (o a las correspondientes de un anillo en este caso) mucha gente (si a los matemáticos se nos puede llamar gente) los llama axiomas induce a confusión.

Así, un anillo tiene la propiedad distributiva por definición de anillo. Si después se encuentra una estructura, como los enteros, que la cumple (y eso hay que demostrarlo), ya tenemos otro anillo. Pero hay que demostrarlo. Igual que se pueden demostrar los axiomas de Peano con teoría de conjuntos pura y dura.

Para el premio de las fracciones continuas: si a/b es un racional (supongamos positivo por aquello de simplificar), entonces puedo escribir

donde .

Ahora llega la parte interesante, escribiendo


En la fracción que es el denominador de la fracción grande el numerador b es más grande que el denominador. Haciendo la división encontramos cociente y resto, encontrando que el editor de ecuaciones me manda a freir esparragos, pero la idea es escribir la fracción denominador como el cociente más el resto entre el divisor, y luego como el cociente más 1 entre la inversa de la última fracción.



No queda muy bonito, pero vamos dividiendo a entre b, b entre el resto de la división anterior y así sucesivamente. Como esto es el algoritmo de Euclides, resulta que antes o después terminamos (los restos se van haciendo cada vez más pequeños...), y por tanto la expansión en fracción continua de una fracción positiva es finita. Si la fracción es negativa se ajusta un poquito y también sale. Espero haber ganado el gallifante

Bueno, lo que nos ha explicado es que la fracción continua de un número racional es finita. Pero no veo que la justificación sea totalmente correcta.

Se define la altura de un racional p/q, con p y q primos entre sí, como

H(p/q)=Max (|p|, |q|) .

Es un entero positivo. Nulo únicamente si p/q=0.

Lo que hay que observar es que la altura de los restos siempre decrece estrictamente (los restos no necesariamente!), luego llega un momento en que el resto es 0.

Para que la aplicación a la irracionalidad de raíz de 2 sea completa, conviene observar que la fracción continua es única.

Q.E.D.

Iniciado por Alvin Red

Ojo, que hay una errata:



Esta sucesión recursiva no tiende a la raiz cuadrada de 2 sino al numero áureo, es lo que se llama un numero metálico, si se sustituyen los 1 por 2 se obtiene el numero de plata y por 3 el de bronce.

Esta que luego pones tampoco tiende a raiz cuadrada de 2




La correcta creo que es con todo los 1+ convertidos en 2+ excepto el primero 1+1/(2+ 1/2+Λ) o lo que es igual al numero de plata - 1