En teoría tienes un contrato de temporada. Los contratos de temporada no lo son cuando lo dice el contrato, sino cuando realmente la situación del inquilino lo justifica (desplazamiento por trabajo, vacaciones, curso escolar, etc, etc). En teoría con ese contrato se dejan 2 meses de fianzas, y debería ser incompatible con el empadronamiento. Al no ser vivienda habitual, no tienes derecho a desgravaciones. Luego no sé si legalmente tendrías que pagar IVA... creo que en algún lado leí que los contratos de temporada sí llevan IVA, pero no estoy seguro.
Normalmente, es algo muy común, pues se corrió la voz de que con estos contratos, no hay renovación automática hasta 5 años, y además de otros depósitos o garantías, se pueden pedir 2 meses de fianza. El problema viene cuando se hace mal, y el inquilino no está "de paso" por un tiempo fijo y por una circustancia determinada (el tiempo y el objeto de por qué es de temporada ha de venir reflejado en el contrato). Vamos, que si realmente estás viviendo allí, y es un primera residencia, es papel mojado... es un contrato en regla.
como consejo, búscate otro piso, y cuando tengas alguno visto, hablas con tu actual casero, exponiéndole que hasta ahora has pagado bien -si lo has hecho- y que el tipo de contrato no te convence, puesto que no te permite desgravaciones. Lo mismo atiende a razones y te hace un contrato normal, sino, puerta...si te amenaza con hacerte pagar los meses restantes, él deberá iniciar un procedimiento... pero tú rompiste el contrato porque no era un contrato en regla, si como digo realmente esa casa es tu primera residencia.
Respecto a que sea un folio o no, eso da igual. Como si el contrato es en una hoja de platanero, en un papiro, o encima del capó de un coche. Lo que importa es que no contravenga la ley de arrendamientos, y que no haya claúsulas abusivas. Y por supuesto, que haya buena fe por ambas partes. Si tú estás viviendo en esa casa, y no es temporal, el hecho de hacerte ese tipo de contrato temporal no está justificado, se podría decir que hay mala fe.